En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.
Por ejemplo:
6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)
1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)
0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.
Recordando cómo se suman los números enteros:
Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.
Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ej : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)
Ej : – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto
5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
– 14 + 34 = 20
Recordando cómo se resta:
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.
Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta en suma
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario
Ej: – 3 – 10 = – 3 + – 10 = – 13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)
19 – 16 = 19 + – 16 = 19 – 16 = 3
jueves, 30 de septiembre de 2010
expresion algebraica
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Tipos de expresiones algebraicas
Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.
Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.
Tipos de expresiones algebraicas
Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.
Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.
lunes, 27 de septiembre de 2010
biografia de euler
Euler nació en [[Basilea]] ([[Suiza]]), hijo de Paul Euler, un [[pastor]] [[calvinista]], y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó de Basilea a la ciudad de [[Riehen]], en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia [[Bernoulli]], famosa familia de matemáticos entre los que destacaba [[Johann Bernoulli]], que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.
La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la [[Universidad de Basilea]], y en [[1723]] recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de [[René Descartes]] e [[Isaac Newton]]. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de [[Johann Bernoulli]] todos los sábados por la tarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.<ref name="childhood">{{cita libro|apellidos= James|nombre= Ioan|título= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann|editorial= Cambridge|fecha= 2002|páginas=2|id= ISBN 0-521-52094-0}}</ref>
En aquella época Euler se dedicaba a estudiar [[teología]], [[griego]] y [[idioma hebreo|hebreo]] siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a ser un gran matemático. En [[1726]] Euler finalizó su Doctorado con una [[tesis]] sobre la [[propagación del sonido]] bajo el título ''De Sono''<ref>{{cita web
|url = http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf
|título = Traducción al inglés por Ian Bruce del Ph.D de Euler
|fechaacceso = 08-04-2005
|formato = pdf
}}
</ref> y en [[1727]] participó en el concurso promovido por la [[Academia de las Ciencias francesa]] por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el [[mástil]] en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de [[Pierre Bouguer]], que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.<ref name="prize">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 156}}</ref>
=== San Petersburgo ===
Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] y [[Nicolas II Bernoulli|Nicolás]], se encontraban trabajando en la [[Academia de las ciencias de Rusia]] en [[San Petersburgo]]. En julio de [[1726]], Nicolás murió de [[apendicitis]] tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en el departamento de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de física en la Universidad de Basilea.<ref name="stpetersburg">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 125}}</ref>
[[Archivo:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|thumb|300px|Sello del año 1957 de la antigua [[Unión Soviética]] conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler.]]
Euler llegó a la capital rusa el [[17 de mayo]] de [[1727]]. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la Academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el [[idioma ruso|ruso]] y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la [[Armada de Rusia]].<ref name="medic">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 127}}</ref>
La Academia de San Petersburgo, creada por [[Pedro I de Rusia]], tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y la Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.<ref name=ref_duplicada_1>{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 124}}</ref>
Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz [[Catalina I de Rusia]], que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser [[Pedro II de Rusia]], por entonces un niño de tan sólo 12 años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.<ref name="promotion">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 128–129}}</ref>
El [[7 de enero]] de [[1734]] Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del [[río Nevá|río Neva]] y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.<ref name="wife">{{Cita web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html|título= Eulogy of Euler by Fuss|mesacceso=August 30|añoacceso=2006|apellido= Fuss|nombre= Nicolas}}</ref>
=== Berlín ===
[[Archivo:Euler GDR stamp.jpg|thumb|250px|left|Sello de la antigua [[República Democrática Alemana]] en honor a Euler en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su fórmula poliédrica para el [[grafo plano|grafo planar]].]]
Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el [[19 de junio]] de [[1741]] para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por [[Federico II el Grande]], [[Anexo:Margraves de Brandeburgo, Reyes de Prusia y Emperadores de Alemania|rey de Prusia]]. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: la ''Introductio in analysin infinitorum'', un texto sobre las [[función matemática|funciones matemáticas]] publicado en [[1748]], y la ''Institutiones calculi differentialis'',<ref>{{cita web
|url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html
|título = ''Institutiones calculi differentialis'' (traducción en inglés)
|fechaacceso = 08-04-2008
}}</ref> publicada en [[1755]] y que versaba sobre el [[cálculo diferencial]].<ref name="Friedrich">{{cita libro|apellidos= Dunham|nombre= William|título= Euler: The Master of Us All|año= 1999|editorial=The Mathematical Association of America|páginas= xxiv–xxv }}</ref>
Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de [[Anhalt-Dessau]], la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado ''Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana''. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del [[Europa|continente europeo]] y en los [[Estados Unidos]]. La popularidad que llegaron a alcanzar estas ''Cartas'' sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.<ref name="Friedrich" />
Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. [[Voltaire]], en particular, era uno de esos filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de [[retórica]], y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.<ref name="Friedrich" /> Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con [[Voltaire]], de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la [[retórica]] y la [[metafísica]]. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:
{{cita|''Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en el [[palacio de Sanssouci]]. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría!|[[Federico II el Grande]]''<ref>{{cita libro|título=Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778|autor=[[Frederick II of Prussia]]|translator=[[Richard Aldington]]|editorial=Brentano's|ubicación=New York|fecha=1927 }}</ref>}}
=== Deterioro de la visión ===
[[Archivo:Leonhard Euler.jpg|thumb|Retrato de Euler del año [[1753]] dibujado por [[Emanuel Handmann]]. El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, así como un posible [[estrabismo]]. El ojo izquierdo parece sano, si bien más tarde Euler tuvo problemas de cataratas.<ref name="blind"> {{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 154–155}}</ref>]]
La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año [[1735]] Euler sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho acontecimiento quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de [[cartografía]] que realizaba para la Academia de San Petersburgo.
La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el ''[[Cíclope]]''. Euler más tarde sufrió [[catarata]]s en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su [[Eidética|memoria fotográfica]]. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la [[Eneida]] de [[Virgilio]] desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.<ref name="volumes" /> También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos.<ref>{{cita web
|url = http://www.radioredam.com.mx/grc/homepage.nsf/main?readform&url=/grc/redam.nsf/vwALL/MLOZ-69EUC3
|título = Biografía de Euler
|fechaacceso = 10-04-2005
}}</ref>
Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.
=== Retorno a Rusia ===
[[Archivo:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|thumb|left|Tumba de Euler, ubicada en [[Monasterio de Alejandro Nevski]].]]
La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de [[Catalina II de Rusia|Catalina la Grande]], por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida, y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.
El [[18 de septiembre]] de [[1783]] Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un [[accidente cerebrovascular]], y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la [[isla de Vasilievsky]]. Hoy en día el cementerio en el que fue enterrado Euler no existe, dado que fue destruido por los soviéticos. Éstos trasladaron previamente sus restos al [[Monasterio de Alejandro Nevski|monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski]].
El matemático y filósofo francés [[Nicolas de Condorcet]] escribió su elogio funeral para la Academia francesa.
{{cita|''…il cessa de calculer et de vivre'' — … dejó de calcular y de vivir.<ref name=condorcet>{{Cita web|url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html%7Ctítulo= Eulogy of Euler - Condorcet|mesacceso=August 30|añoacceso=2006|autor=Marquis de Condorcet}}</ref>}}
Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.
La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la [[Universidad de Basilea]], y en [[1723]] recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de [[René Descartes]] e [[Isaac Newton]]. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de [[Johann Bernoulli]] todos los sábados por la tarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.<ref name="childhood">{{cita libro|apellidos= James|nombre= Ioan|título= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann|editorial= Cambridge|fecha= 2002|páginas=2|id= ISBN 0-521-52094-0}}</ref>
En aquella época Euler se dedicaba a estudiar [[teología]], [[griego]] y [[idioma hebreo|hebreo]] siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a ser un gran matemático. En [[1726]] Euler finalizó su Doctorado con una [[tesis]] sobre la [[propagación del sonido]] bajo el título ''De Sono''<ref>{{cita web
|url = http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf
|título = Traducción al inglés por Ian Bruce del Ph.D de Euler
|fechaacceso = 08-04-2005
|formato = pdf
}}
</ref> y en [[1727]] participó en el concurso promovido por la [[Academia de las Ciencias francesa]] por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el [[mástil]] en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de [[Pierre Bouguer]], que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.<ref name="prize">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 156}}</ref>
=== San Petersburgo ===
Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] y [[Nicolas II Bernoulli|Nicolás]], se encontraban trabajando en la [[Academia de las ciencias de Rusia]] en [[San Petersburgo]]. En julio de [[1726]], Nicolás murió de [[apendicitis]] tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en el departamento de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de física en la Universidad de Basilea.<ref name="stpetersburg">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 125}}</ref>
[[Archivo:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|thumb|300px|Sello del año 1957 de la antigua [[Unión Soviética]] conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler.]]
Euler llegó a la capital rusa el [[17 de mayo]] de [[1727]]. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la Academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el [[idioma ruso|ruso]] y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la [[Armada de Rusia]].<ref name="medic">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 127}}</ref>
La Academia de San Petersburgo, creada por [[Pedro I de Rusia]], tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y la Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.<ref name=ref_duplicada_1>{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 124}}</ref>
Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz [[Catalina I de Rusia]], que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser [[Pedro II de Rusia]], por entonces un niño de tan sólo 12 años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.<ref name="promotion">{{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 128–129}}</ref>
El [[7 de enero]] de [[1734]] Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del [[río Nevá|río Neva]] y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.<ref name="wife">{{Cita web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html|título= Eulogy of Euler by Fuss|mesacceso=August 30|añoacceso=2006|apellido= Fuss|nombre= Nicolas}}</ref>
=== Berlín ===
[[Archivo:Euler GDR stamp.jpg|thumb|250px|left|Sello de la antigua [[República Democrática Alemana]] en honor a Euler en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su fórmula poliédrica para el [[grafo plano|grafo planar]].]]
Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el [[19 de junio]] de [[1741]] para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por [[Federico II el Grande]], [[Anexo:Margraves de Brandeburgo, Reyes de Prusia y Emperadores de Alemania|rey de Prusia]]. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: la ''Introductio in analysin infinitorum'', un texto sobre las [[función matemática|funciones matemáticas]] publicado en [[1748]], y la ''Institutiones calculi differentialis'',<ref>{{cita web
|url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html
|título = ''Institutiones calculi differentialis'' (traducción en inglés)
|fechaacceso = 08-04-2008
}}</ref> publicada en [[1755]] y que versaba sobre el [[cálculo diferencial]].<ref name="Friedrich">{{cita libro|apellidos= Dunham|nombre= William|título= Euler: The Master of Us All|año= 1999|editorial=The Mathematical Association of America|páginas= xxiv–xxv }}</ref>
Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de [[Anhalt-Dessau]], la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado ''Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana''. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del [[Europa|continente europeo]] y en los [[Estados Unidos]]. La popularidad que llegaron a alcanzar estas ''Cartas'' sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.<ref name="Friedrich" />
Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. [[Voltaire]], en particular, era uno de esos filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de [[retórica]], y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.<ref name="Friedrich" /> Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con [[Voltaire]], de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la [[retórica]] y la [[metafísica]]. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:
{{cita|''Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en el [[palacio de Sanssouci]]. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría!|[[Federico II el Grande]]''<ref>{{cita libro|título=Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778|autor=[[Frederick II of Prussia]]|translator=[[Richard Aldington]]|editorial=Brentano's|ubicación=New York|fecha=1927 }}</ref>}}
=== Deterioro de la visión ===
[[Archivo:Leonhard Euler.jpg|thumb|Retrato de Euler del año [[1753]] dibujado por [[Emanuel Handmann]]. El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, así como un posible [[estrabismo]]. El ojo izquierdo parece sano, si bien más tarde Euler tuvo problemas de cataratas.<ref name="blind"> {{cita publicación|autor= Calinger, Ronald|año= 1996|título= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revista= Historia Mathematica|volumen= 23|número= 2|páginas= 154–155}}</ref>]]
La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año [[1735]] Euler sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho acontecimiento quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de [[cartografía]] que realizaba para la Academia de San Petersburgo.
La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el ''[[Cíclope]]''. Euler más tarde sufrió [[catarata]]s en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su [[Eidética|memoria fotográfica]]. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la [[Eneida]] de [[Virgilio]] desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.<ref name="volumes" /> También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos.<ref>{{cita web
|url = http://www.radioredam.com.mx/grc/homepage.nsf/main?readform&url=/grc/redam.nsf/vwALL/MLOZ-69EUC3
|título = Biografía de Euler
|fechaacceso = 10-04-2005
}}</ref>
Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.
=== Retorno a Rusia ===
[[Archivo:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|thumb|left|Tumba de Euler, ubicada en [[Monasterio de Alejandro Nevski]].]]
La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de [[Catalina II de Rusia|Catalina la Grande]], por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida, y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.
El [[18 de septiembre]] de [[1783]] Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un [[accidente cerebrovascular]], y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la [[isla de Vasilievsky]]. Hoy en día el cementerio en el que fue enterrado Euler no existe, dado que fue destruido por los soviéticos. Éstos trasladaron previamente sus restos al [[Monasterio de Alejandro Nevski|monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski]].
El matemático y filósofo francés [[Nicolas de Condorcet]] escribió su elogio funeral para la Academia francesa.
{{cita|''…il cessa de calculer et de vivre'' — … dejó de calcular y de vivir.<ref name=condorcet>{{Cita web|url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html%7Ctítulo= Eulogy of Euler - Condorcet|mesacceso=August 30|añoacceso=2006|autor=Marquis de Condorcet}}</ref>}}
Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.
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