3.7. División de polinomios

La division algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

División de un monomio por otro

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

Ejemplo:

Dividir

Solución:

Ejemplo:

Dividir

Solución:

Ejemplo:

Dividir

Solución:

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

Ejemplo:

Dividir

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.

Ejemplo:

Dividir

Solución:

Ejemplo:

Dividir

Solución:

Ejemplo:

Dividir

Solución:

División de un polinomio por un polinomio.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

Ejemplo:

Dividir:

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:

En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, , entre el primer término del divisor, , obteniéndose , por cada uno de los términos del divisor, obteniéndose como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto .

Después se ha dividido entre obteniéndose como cociente , que es el segundo término del cociente. Multiplicando por todos los términos del divisor que se obtiene como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta.

A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como segundo resto

Finalmente se ha dividido entre , obteniéndose como cociente . Multiplicando por todos los términos del divisor se obtiene como producto , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.

Ejemplo:

Dividir:

Solución:

Ejemplo:

Dividir:

Solución:

Ejemplo:

Dividir:

Solución:

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:

a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre el primer término del divisor.

b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor.

c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer término del divisor.

3.-
Para hacer a Bob Esponja se trabajo con cajitas a escala de 10% de reducción, si una caja de huevo mide 60 cm. (base) x 35 cm. (ancho) x 30 cm. (alto), ¿cuáles fueron las medidas de la cajita a escala?
a)
600cm x 350cm x 300cm
b)
0.6 cm x 0.35 cm x 0.3 cm
c)
0.006 m x 0.00035 m x 0.0003 m
d)
6 cm. x 3.5 cm. x 3 cm.

4.-
Nuestro modelo requirió de 6 cajas de alto x tres cajas de ancho, para hacer el cuerpo. ¿Cuánto media el modelo y cuánto Bob Esponja?
a)
Modelo (Boby) 1.8 m alto x 1.8 m ancho Bob Esponja18 m alto x 18 m ancho
b)
Modelo (Boby) 18 cm alto x 18 cm ancho Bob Esponja180 cm alto x 180 cm ancho
c)
Modelo (Boby) 180 cm alto x 180 cm ancho Bob Esponja1800 cm alto x 1800 cm ancho
d)
Modelo (Boby) 0.18 cm alto x 0.18 cm ancho Bob Esponja0.180 cm alto x 0.180 cm ancho

5.-
Nuestro modelo de la pirámide requirió de un cuadrado que medía lo de 4 cajas por lado. ¿Cuál fue el área de la base en el modelo y cuál en la pirámide?
a)
Modelo 576 cm 2 Pirámide 57600 cm2
b)
Modelo 576 m 2 Pirámide 57600 m2
c)
Modelo 5.76 m 2 Pirámide 57.600 m2
d)
Modelo 0.576 cm 2 Pirámide 0.576 cm2

6.-
Es la razón o relación que existe entre dos cantidades, es decir, expresa el cociente de las dimensiones del objeto reproducido “a”, sobre el objeto real “b” y establece la reproducción natural, disminución o aumento.
a)
escala E = b
a
b)
escala E = a
b
c)
relación
d)
cociente

7.-
Cuando se reproducen los objetos a tamaño natural se dice que está a escala natural es decir:
a)
2:3
b)
3:2
c)
1:1
d)
4:0

8.-
Obtener las dimensiones y el área reales de una huella digital con una escala 15:1, si la reproducción mide 15 cm. de ancho por 30 cm. de largo.
a)
largo = 2 cm., ancho = 1 cm., área 2 cm 2
b)
largo = 2 cm., ancho = 2 cm., área 4 cm 2
c)
largo = 1 cm., ancho = 2 cm., área 2 cm 2
d)
largo=30cm, ancho =15cm, área 450cm 2

9.-
Obtener las dimensiones y el área reales de una huella digital con una escala 16:1, si la reproducción mide 16 cm. de ancho por 28 cm. de largo.
a)
largo = 1.75 cm., ancho = 1 cm., área 1.75 cm 2
b)
largo = 1 cm., ancho = 1.75 cm., área 1 cm 2
c)
largo = 1 cm., ancho = 2 cm., área 3 cm 2
d)
largo=17.5cm, ancho =1cm, área 150cm 2


10.-
Obtener las dimensiones y el área reales del modelo a escala de un barco que mide 25 cm. de largo, 13 cm. de ancho y en su construcción se utilizó la escala 1:120
a)
largo = 30 cm., ancho = 15.6 cm., área 468 cm 2
b)
largo = 3 m., ancho = 1.56 m., área 4.68 m 2
c)
largo = 16 m., ancho = 16 m., área 0.46 cm 2
d)
largo = 30 m., ancho = 15.6 m., área 468 m 2

11.-
En una nevería la especialidad es el helado doble, si los sabores que tienen son, fresa, vainilla, chocolate y pistache ¿Cuántas combinaciones se pueden ofrecer al público?
a) 5
b) 20
c) 10
d) 35

12.-
La gráfica llamada en el libro “Diagrama de sectores” por nosotros es más conocida como
a)
Gráfica de pastel
b)
Gráfica de barras
c)
Gráfica de frecuencia
d)
Grafica curva

14.-
Se utilizan para representar tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Si los intervalos son todos iguales, cada uno de ellos es la base de un rectángulo cuya altura es proporcional a la frecuencia correspondiente.
a)
Histogramas
b)
Polígono de frecuencias
c)
Gráfica de pastel
d)
Diagrama de sectores

15.-
Resuelve las siguientes operaciones (13 - 54)2
a)
41
b)
-1681
c)
-41
d)
1681

16.-
Resuelve las siguientes operaciones (13 - 2.95)2
a)
20.10
b)
254.4025
c)
10.05
d)
101.0025

17.-
Resuelve las siguientes operaciones [23 - (10 + 8)]2
a)
441
b)
41
c)
25
d)
77

18.-
Resuelve las siguientes operaciones 3124.8 x 0.204 =
a)
1531.76
b)
) 637459.2
c)
15.3176
d)
637.4592

19.-
Resuelve las siguientes operaciones (-22) ( - 0.09)3 =
a)
0.016038
b)
65.73
c)
10517.854
d)
-1.1782

20.-
Resuelve las siguientes operaciones 46.46 - Ö539.6329
a)
32.32
b)
23.23
c)
69.69
d)
11.615

¿Como se deriva 1 sobre x elevado ala 3?

y = 1/x³1/x³

1/x³ es lo mismo que x^-3 (osea, x elevado a la menos 3)

y = x^-3

Ahora podemos derivarlo...

y' = -3x^(-3-1)

y' = -3x^-4 o y' = -3/x^4

También se resuelve por la derivada de un cociente...

y = 1/x³

y' = [(1)'(x³) - (1)(x³)']/(x³)²

y' = (0x³ - 3x²)/x^6

y' = (0x³ - 3x²)/x^6

y' = -3/x^4

significa elevado...

polinomios

División de un monomio por otro

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.


Multiplicación de monomios.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos

Multiplicación por polinomios
La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Tipos de expresiones algebraicas

Hay disrintos tipos de expresiones algebraicas.
Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalente.

Multiplicación de monomios.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signo.

División de un monomio por otro

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

polinomios

Monomio
Binomio, trinomio, polinomio, termino, expresión algebraica:
Monomio: esta formado por un solo termino que puede ser un numero, una o barias literales con exponente entero positivo o producto de ambos.
Polinomio: son dos o mas binomios que se suman forman un polinomio y cada binomio es un termino.
Binomio. Es un polinomio con solo dos términos.
Trinomio: expresión algebraica de tres términos son trinomios
3x2y + 2xy2 - 4,2 a + b - c
termino: es un numero una letra o un conjunto de números y letras combinadas mediante las operaciones de multiplicación y división son términos
3 a2, b3 3x2 - bx3, 1
2y
expresión algebraica: es toda presentación de números algebraicos
Suma y resta de términos siguientes:
- + forma ascendente
+ - forma descendente
5ax + 3ax2 - 2ª +3ax - 5ª = 8ax + 3ax2 - 7a
forma ascendente: -7a -8ax +3a2
forma descendente: + 3 a2 -8ax - 7 a
3ax - 3ax2 +5 a - 2ax +3 a = 5ax - 3 a2 + 8a
forma ascendente: 5ax + 8a - 3 a2
forma descendente: + 3 a2- 8a +5ax
7ax + 4ax3 -5 a +2ax -7 a = 9ax + 4ax3 - 12 a
forma ascendente: 9ax -12 a + 4ax3
forma descendente: 4ax3 -12 a + 9ax
6ax -2ax2 +3 a - 4ax + 5 a = 10ax - 2ax2 + 8 a
forma ascendente: +8 a - 10ax - 2ax2
forma descendente: 2ax2 - 10ax - 8 a
4ax + 3ax2 -4 a + 5ax - 6 a = 9ax + 3ax2 - 10 a
forma ascendente: 9ax -10 a - 3ax3
forma descendente: 3ax3 - 10 a + 9ax
5 a2 - 3ax2 + 2 a = 1ax - 3 a2 +2 a
forma ascendente: 1ax +2 a - 3 a2
forma descendente: 3 a2 - 2 a + 1ax
3ax + 5ax2 + 4ax + 3ax - 2 a = 10ax + 5ax3 -2 a
forma ascendente: -2 a - 10 a + 5ax3
forma descendente: 5ax3 + 10 a - 2 a
- 3ax - 5ax3 + 7ax3 +2 a = 3ax - 2ax3 +2 a
forma ascendente: +2 a - 3ax - 2ax3
forma descendente: 2ax3 - 3ax -2 a
2ax + 4ax2 - 2 a + 1ax - 5 a = 3ax + 4ax2 - 7 a
forma ascendente: 3ax - 7 a + 4ax2
forma descendente: +4ax2 - 7 a - 3ax
7ax - 3ax2 + 2ax2 + 3 a = 7ax - 1ax2 + 3 a
forma ascendente: + 3 a - 7ax - 1ax2
forma descendente: 1ax2 - 7ax - 3 a
5ax + 3ax2 + 2ax2 + 3ax - 2 a =
forma ascendente:
forma descendente:
3ax - 5ax3 + 7ax3 + 2 a = 3ax - 2ax3 + 2 a
forma ascendente: 2 a + 3ax - 2ax3
forma descendente: 2ax3 - 3ax + 2 a
8ad + 5ad7 + 3 a - 9ad - 7 a + 12ad7 + 5nm5 = -1ad + 17ad7
+ 4ad + 5mn5
forma ascendente: 1ad +4ad + 5nm5 +17ad7
forma descendente: ad7 + 17 + 5nm5 + 4ad + 1ad
4ax - 2ax3 - 3ax3 - 5ax - 3 a = -1ax - 5ax3 -3 a
forma ascendente: 1ax - 3 a - 5ax3
forma descendente: 5ax3 - 3 a - 1ax
9ax3 + 6ax3 + 2ax4 + 9ax + 6ax = 3ax3 + 2ax4 + 15ax
forma ascendente: 15ax +2 ax4 + 3ax3
forma descendente: 3ax3 + 2ax4 + 15ax