Graficas y funciones

Estamos viendo las graficas y ecuaciones cuando a una ecuación se quiere poner en una grafica se le llama Tabular.
Tabular: Expresar u ordenar unos datos en forma de tablas

Ecuaciones

Lo que estamos viendo en el segundo d son como las siguientes ecuaciones:
3x+12x-5=6(2+x)\3+2
15x-5=12+6x\3+2
15x-=12/3 + 6x/7+2
15x-5=4+2x+2
15x-2x=4+2+5
13x=11
X=11/13
Y como esta otra
2/4x+1/2x+3/12=4/2x+12/4+x1/4
2/4x+2/4x+1/4=8/4x+12/4x+1/4
4/4x+1/4=20/4+1/4
4/4x+20/4x=1/4-1/4
-16/4x=0
X=-4(0)\16
X=0

ECUACIONES, MULTIPLOS Y DIVISORES

Ecuación: Cuando dos expresiones algebraicas se hacen equivalentes (por medio del símbolo igual = ), se forma una ecuación. Si dicha ecuación sólo tiene una incógnita de primer grado, se le llama ecuación lineal con una incógnita

Ejemplo: La siguiente adivinanza la puedes resolver por medio de una ecuación de primer grado. Te vas a dar cuenta de que, de otra manera, nos sería más difícil encontrar la respuesta.
Adivinanza

Ejercicio Número 1: Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.
Problema

Ejercicio Número 2: Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita utilizando una segunda propuesta de solución.

Problema con 2 incógnitas

Ejercicio Número 3: Solución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas sobre un problema, aplicando 3 métodos de solución.
En general, cualquier ecuación de primer grado puede ser representada así: ax+b=0, donde a, b son constantes.

La solución general es: x = -b/a


_MULTIPLOS Y DIVISORES



El número 18 es múltiplo de 6 puesto que lo contiene exactamente 3 veces, y también es múltiplo de 2 puesto que lo contiene exactamente 9 veces.

18 = 6+6+6 (3x6=18) ó 2+2+2+2+2+2+2+2+2 (2x9=18)

Y por lo tanto todo número puede tener infinitos múltiplos que se obtienen al multiplicar dicho número por cualquier número natural. Puesto que hay infinitos números naturales, también habrá infinitos múltiplos del número.

Por ejemplo los múltiplos de 3 se obtendrán del modo siguiente:
3 x 1 = 33 x 2 = 63 x 3 = 93 x 4 = 123 x 5 = 15... sucesivamente.

Se dice que un número es primo cuando sólo es divisible entre 1 y entre sí mismo. Números primos iniciales son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , 23


Cómo comprobar que 3 es un número primo?

R. El número 3 tan sólo es divisible entre 1 y entre 3, y por lo tanto, diremos que es primo, así como también son primos los números 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 etc...

Porque si dividimos el valor, notarás que sólo entre 1 y si mismo, devuelve un valor entero.
3/1 = 3 (es entero)3/2 = 1.5 (no es entero)3/3 = 1 (es entero)3/4 = 0.75 (no es entero)3/5 = 0.6 (no es entero)3/6 = 0.5 y de aquí en adelante los resultados no son enteros.


Por el contrario, se dice que un número es compuesto cuando no es primo, es decir, cuando es divisible por entre números además de la unidad y de sí mismo.

Criterios de Divisibilidad
Estructura de Múltiplos

número 6 no es primo puesto que además de ser divisible entre 1 y 6, también lo es entre 2 y 3.
6/1 = 66/2 = 36/3 = 26/4 = 1.56/5 = 1.26/6 = 1 etc...

TESELANDO TESELADOS

Les presentó otra producción de……

LUIS NEZIJ

Esta vez el reto es teselar lagartijas simétricas para llenar la pared disfruten , del vídeo.
Las lagartijas están basadas en un hexágono del cual se fueron sacando la cara y las patas.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La ecuación de segundo grado o cuadrática de una sola incógnita: Es aquella que contiene un término de segundo grado y cuya forma general es la siguiente:


ax2+bx+c=0

Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación.
Para solucionar una ecuación cuadrática se tiene dos métodos: Factorizar o usar la fórmula cuadrática

Método de factorización:

1.- Iguala a cero la ecuación. Reduce los términos semejantes ordenándolos en orden de creciente.

2.- Factoriza.
a. Iguala a cero cada factor.
b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución.
Por ejemplo: si tenemos 6x²-7x = 3

Entonces, igualando a ceros tenemos 6x²-7x - 3 = 0
Para factorizar podemos tantear los siguientes factores:
(2x ± 3)(3x ± 1)

Ya que vemos que (2x)(3x) = 6x² y el último término es -3 por lo que podemos suponer que los segundos términos de cada factor es -3 y +1. Finalmente la factorización correcta es (2x - 3)(3x + 1) = 0.

La solución de la ecuación es cuando cada factor es igual a cero, ya que la ecuación es igual a cero.
2x - 3 = 0, por lo que 2x = 3

x = 3/2
3x + 1 = 0, por lo que 3x = -1
x = 1/3

Por ejemplo: si tenemos 4x²+12x = 7

Por inspección vemos que el lado izquierdo de la ecuación sería un cuadrado perfecto si tuviera un nueve. Vamos a agregar el 9 a ambos lados:

4x² +12x + 9 = 7 + 9
(2x + 3²) = 16
2x + 3 = ± √ 16 = ± 4
2x + 3 = 4, 2x = 1, x = 1/2
2x + 3 = -4, 2x = -7, x = -7/2

Método de la fórmula cuadrática.
Si es dificil factorizar, entonces siempre puedes resolver cualquier ecuación cuadrática utilizando la fórmula:

Ejemplo:
Si tenemos x² - 4x + 3 = 0 vemos que a = 1, b = -4 y c = 3
Tenemos entonces que sustituyendo en la fórmula:

Introducción [editar]
En general, un sistema con m ecuaciones lineales n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Sistemas lineales reales [editar]
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

Representación gráfica [editar]

La intersección de dos planos no paralelos es una recta
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta óptica.

Tipos de sistemas [editar]
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados [editar]
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):
De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles [editar]
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Métodos de resolución [editar]

Sustitución [editar]
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación [editar]
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra despejada.

Reducción [editar]
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a .

Método de Gauss [editar]
La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

Su matriz aumentada será esta:

En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por y por , respectivamente.

Por último, eliminamos la , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente.

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por , y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

Regla de Cramer [editar]
Artículo principal: Regla de Cramer
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:
Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incónitas:
La regla de Cramer da la siguiente solución:
Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

Sistemas lineales en un cuerpo arbitrario [editar]
Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo , la solución puede encontrarse mediante Regla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente más costosa y suelen usarse otros métodos más "económicos" en número de operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el método de Gauss-Seidel.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).
Un sistema de la forma
Ax = 0
se le llama sistema homogéneo. El conjunto de todas las soluciones de este tipo de sistema se le llama núcleo de la matriz y se escribe como Nuc A.
Se han diseñado algoritmos alternativos mucho más eficientes a la eliminación de Gauss-Jordan para una gran cantidad de casos específicos. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O(n²). Algunos de los métodos más usados son:
Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz de Toeplitz simétrica, se puede utilizar la recursión de Levinson o alguno de los métodos derivados de éste. Un método derivado de la recursión de Levinson es la recursión de Schur, que es ampliamente usado en el campo del procesamiento digital de señales.
Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz singular o casi singular, la matriz A se descompone en el producto de tres matrices en un proceso llamado descomposición de valores singulares.

Solución de sistemas lineales en un anillo [editar]
Artículo principal: ecuación diofántica
Los métodos para resolver el sistema (1) sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente. De hecho la mayoría de métodos usados en cuerpos, como la regla de Cramer, son inaplicables en anillos debido a que no existen inversos multiplicativos.
La existencia de solución del sistema (1) sobre los enteros requiere varias condiciones:
Para cada i es divisor de .
Si la condición anterior se cumple para un determinado i existe un conunto de enteros formado por el conjunto de enteros que satisface la i-ésima ecuación, y existirá solución si la intersección .

Véase también [editar]

PLANO CARTESIANO

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.


Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe:

Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente.
El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.

Las cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:

Para el problema planteado ,el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

LA LINEA RECTA

Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos.
Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante.

PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN

Ángulo de inclinación
Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.

Pendiente de una recta

Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.