LEYES DE LOS SIGNOS

La multiplicacion se define primero para numeros positivos, como una extension de la suma. Si son enteros positivos la multiplicacion es una suma repetida.

Ej : 5 x 6 = 6+6+6+6+6 = 30 y no hay problema en ver que un numero positivo por otro numero positivo es positivo.

(+)x(+)=(+) Si ahora multiplico un entero positivo por un numero negativo, sumo repetidamente el numero negativo.

Ej 5 x(-6) = (-6)+(-6)+(-6)+(-6)+(-6)=-30

Como la multiplicacion es conmutativa multiplicar (+5)x(-6) tiene que ser igual que multiplicar (-6)x(+5)=-30 Es decir que (+)x(-)=(-)x(+)=(-) La ultima, menos por menos, requiere pensar un poco mas y usar la propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la resta.

Por ejemplo cinco es (10-5) Luego si 5x(-6)=-30 entonces:

(10-5)x(-6)=-30 Ahora aplico propiedad distributiva y tengo que 10x(-6) +(-5)x(-6)=-30 -60 +(-5)x(-6)=-30 Es decir que a (-5)x(-6) no le queda otro remedio que valer 60-30 = 30.

(lo que esta restando pasa sumando) Te pongo otro ejemplo 4x (-2)=-8 pero (4-1)x(-2)=-6 Fijate que al achicar primer factor de cuato a tres en lugar de obtener -8 obtengo -6 que es un numero mayor:

-6=-8+2 Por lo que (-1)x(-2)=2 Si pensamo lo negativo como una deuda si yo le quito a tus deudas en realidad te estoy ayudando

La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.



Para poder realizar cualquier operación de números con signos, es necesario conocer las leyes de los signos, que se presentan a continuación.

Al multiplicar un número por 1 (la unidad), se obtiene el mismo número; por lo que se puede escribir lo siguiente:(-2) (1) = - 2

Observe que para multiplicar no se usa el signo "x", con ello se evita confundirse con una "equis".

Así, para indicar un producto, se usará un punto o un paréntesis entre las cantidades .Observe que un número con signo negativo multiplicado por un número con signo positivo da como resultado un número con signo negativo (-).


En la recta numérica, se observa que multiplicar a -2 por 1 se obtiene -2.
Al multiplicar números con signo diferente se obtienen números con signo negativo.

Así, (2) (-4) = -8, porque se está multiplicando dos veces al -4.
Lo mismo sucederá si se pone primero el negativo y luego el positivo.

(-4) (+2) = (-8)

Al multiplicar un número negativo por otro número negativo, se tendrá como resultado un número positivo: (-) (-) = (+).

(-1) (-2) = 2

Esto se explica al recordar que todo número multiplicado por la unidad da el mismo número. Si la unidad fuera negativa, habría que cambiar el signo del número que se multiplica.

(-1) (-2) = 2

También, si se multiplica a un número positivo por otro positivo, se tendrá otro positivo.
(+1) (+2) = (+2)

Al multiplicar números con el mismo signo se obtendrán productos con signo positivo.


Las leyes de los signos para operaciones se sintetizan en la siguiente tabla.

A continuación, se puede observar cómo se aplican las leyes de los signos para la multiplicación.

Producto de signos contrarios da un signo negativo.

Producto de signos iguales da un signo positivo.
Ejemplos
Ejemplos
(+3) (-2) = (-6)
(-3) (+2) = (-6)
(+4) (-1) = (-4)
(-12) (+2) = (-24)
(-6) (+3) = (-18)
(-12) (0) = (0)
(+3) (+2) = (+6)
(-3) (-2) = (+6)
(+4) (+1) = (+4)
(-12) (-2) = (+24)
(-6) (-3) = (+18)
(-12) (0) = (0)

LEYES DE LOS EXPONENTES

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS

El producto de un número real que se multiplica por sí mismo se denota por
a x a ó aaa, a x a x a ó aaa.

Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
a x a = a2, a x a x a = a3, a x a x a x a x a = a5

Donde a es llamada base y el número escrito arriba y a la derecha del mismo, es llamado exponente.

LEYES DE LOS EXPONENTES.

1) PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE.

am x an = am+n

2) EL COCIENTE DE DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE

Elévese la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

am = am-n, x16 = x10
cx6
3) LA POTENCIA DE UNA POTENCIA

Elévese la base a una potencia igual al producto de dos exponentes.
(am) n = amn, (a5)2 = x3 . y3

4) LA POTENCIA DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES

Encuéntrese el producto de cada factor elevado a la enésima potencia
(ab)n = an . bn, (xy)3 = x3 . y3

5) LA POTENCIA DE COCIENTE DE DOS FACTORES

Encuéntrese el cociente de cada factor elevado a la enésima potencia.
a n = an, a 5 = a5
b b, b, b5 .



La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces.

Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m).